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∫1/x∧1/2+2Dx

∫(1/x∧1/2+2)dx =∫(1/√x+2)dx =2√x+2x+c(常数项)

令x=tant,t∈(-π/2,π/2),则√(1+x²)=sect,dx=sec²tdt ∫√(1+x²) dx =∫sec³t dt =∫sect d(tant) =sect*tant-∫tant d(sect) =sect*tant-∫tan²t*sectdt =sect*tant-∫(sec²t-1)*sectdt =sect*tant-∫sec³tdt+∫sectdt...

换元,令x=tant,dx=(sect)^2dt∫1/(1+x^2)^2dx=∫(sect)^2dt/[1+(tant)^2]^2=∫(sect)^2dt/(sect)^4=∫dt/(sect)^2=∫(cost)^2dt=(1/2)∫(cos2t+1)dt=(1/4)sin2t+(1/2)t+C=(1/4)[2tant/(1+(tant)^2)]+(1/2)t+C=(1/2)(x/(1+x^2)+(1/2)arctanx+C

令x=sint,那么dx=cost *dt (1-x^2)^3/2=(cost)^3 那么原积分=∫1/(cost)^3 *cost dt =∫1/(cost)^2 dt =tant+C=x/(1-x^2)^1/2+C,C为常数

因为这里书写不便,故将我的答案做成图像贴于下方,谨供楼主参考(若图像显示过小,点击图片可放大)。

∫(0→2) x√(2x - x2) dx = ∫(0→2) x√[1 - (x - 1)2] dx 令x - 1 = sinθ,dx = cosθdθ,第二换元积分法当x = 0,θ = - π/2 当x = 2,θ = π/2 = ∫(- π/2→π/2) (1 + sinθ) * cos2θ dθ = ∫(- π/2→π/2) cos2θ dθ + ∫(- π/2→π/2) sinθcos2θ dθ,第一个偶函数...

令u=1+x^2 则du=2xdx 原式=1/2·∫1/udu =1/2·lnu+C =1/2·ln(1+x^2)+C

点评:本题可假设k为正数,再用换元的方法解决,最后需要用到常数的变换,需要注意。这是一道经典的题目。

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