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∫1/xD(1/x)

对lnx求导就是1/x,然后1/x*1/x=1/x^2

见图

由求导的公式可以知道 [f(x)*g(x)]'=f '(x)*g(x)+f(x)*g '(x) 所以在积分的时候,可以得到 ∫[f '(x)*g(x)+f(x)*g '(x) ]dx= f(x)*g(x) +C 即∫[g(x)d(f(x))+f(x)*d(g(x))]=f(x)*g(x) +C 所以在这里得到 ∫1/xd(sinx)+∫sinxd(1/x) =sinx *1/x +C,C...

ln(x) 增长的比x慢那么多,1/x都发散了,你觉得1/ln(x)呢?

注意:d(1-x)=-dx,接下来就很简单了:

令x=(sint)^2 得到原积分=∫t dcost =t *cost -∫cost dt =t *cost -sint 那么t=arcsin√x,sint=√x,cost=√1-x 所以积分结果为 arcsin√x *√1-x -√x +C,C为常数

设1+p=x,dp=dx, ∴∫ln(1+p)d(1+p) =∫lnxdx =xlnx-∫xd(lnx) =xlnx-∫1dx =xlnx-x+C =x(lnx-1)+C =(1+p)[ln(1+p)-1]+C.

x^2+y^2=1 是圆 化为极坐标为r=1 x^2+y^2=2x 也就是(x-1)^2+y^2=1^2 也是圆,圆心在(1,0) 化为极坐标为r=2cost

∫ln(1+x)dx =x*ln(1+x)-∫xd(ln(1+x))【分部积分法】 =x*ln(1+x)-∫[x/(1+x)]dx =x*ln(1+x)-∫[(1+x)-1]/(1+x)dx =x*ln(1+x)-∫[1-(1/1+x)]dx =x*ln(1+x)-x+ln(1+x)+C =(x+1)*ln(1+x)-x+C

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