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∫x/(x∧2+1)

如图所示:

分子凑微分 得到分母的形式 再凑微分 得到不定积分 过程如下图:

凑微分法 ∫x/√(1-x^2)dx =-1/2∫d(1-x^2)/√(1-x^2) =-1/2∫[(1-x^2)^(-1/2)]d(1-x^2) =-1/2*2*(1-x^2)^(1/2)+C = -√(1-x^2)+C

过程如下:

令x=asint dx=acostdt t=arcsin(x/a) 原式=∫a^2cos^2tdt =a^2/2*∫(1+cos2t)dt =a^2/2*(t+sintcost)+C =a^2/2*arcsin(x/a)+ax/2*(1-x^2/a^2)^(1/2)+C

x∧4╱4-x∧2/2+1/2*ln|x∧2+1|

∫dx/[(1+x)(1+x²)]=(1/2)∫dx/(1+x)+(1/2)∫(1-x)/(1+x²)dx=(1/2)∫dx/(1+x)+(1/2)∫dx/(1+x²)-(1/2)∫x/(1+x²)dx=(1/2)∫d(1+x)/(1+x)+(1/2)∫dx/(1+x²)-(1/4)∫d(1+x²)/(1+x²)=(1/2)ln(1+x)+(1/2)arctanx-(1/4)ln(...

显然∫1/(x+1)(x^2+1) dx =1/2 *∫1/(x+1) +(x-1)/(x^2+1)dx =1/2 *∫1/(x+1) dx +1/2 *∫1/(x^2+1) d(x^2+1) -∫1/(x^2+1)dx =1/2*ln|x+1| +1/2 *ln|x^2+1| -arctanx +C =1/2 *ln|(x+1)(x^2+1)| -arctanx +C,C为常数

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