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∫x╱√4%xDx

作变量代换√(4-x)=t,就中以如图化简并求出这个不定积分。

xdx=1/2dx^2 设 t=x^2 t≥0 则1/2∫√t-4 dt =1/2∫√t-4 d(t-4) =1/3(t-4)^ 3/2+c =1/3(x^2-4)^3/2+c

∫xcos4xdx =xsin4x/4-∫sin4x/4dx =xsin4x/4+cos4x/16+C 如果不懂,请追问,祝学习愉快!

令√x=t, 那么x=t²,dx=2t dt 即t的上下限为2和0 所以得到 原积分=∫ t *2t /(1+t^3) dt =∫ 2t² /(1+t^3) dt =∫ 2/3(1+t^3) d(1+t^3) =2/3 *ln|1+t^3| 代入t 的上下限2和0 =2/3 *(ln9 -ln1) =2/3 *ln(3^2)=4/3 *ln3

连续使用高中公式cos2x=2cos^2x-1达到降幂效果、 ∫cos^4 xdx =1/4∫(1+cos2x)^2dx =1/4∫(cos^2 2x+2cos2x+1)dx =1/4(∫cos^2 2xdx+sin2x+x) =1/4[1/2∫(1+cos4x)dx+sin2x+x] =1/32sin4x+1/4sin2x+3/8x+C

过程如下: 第二部分积分通过配方、换元计算,自己算一下吧,太长了。。。

凑微分得到 原积分=∫ 1/2 d(x^2) /(16+x^4) =∫ 1/2 d(x^2) /[1+(x^2/4)^2] =∫ 4 d(x^2/4) /[1+(x^2/4)^2] 那么由基本积分公式 ∫ 1/(t^2 +1)dt=arctant 可以得到 此积分=4arctan(x^2/4) +C,C为常数

令u = 1 + x√x = 1 + x^(3/2) du = (3/2)√x dx x = 1 --> u = 2 x = 4 --> u = 9 ∫(1,4) √x/(1 + x√x) dx = ∫(2,9) √x/u * (2/3)(1/√x) du = (2/3)∫(2,9) du/u = (2/3)ln| u | (2,9) = (2/3)[ln(9) - ln(2)] = (2/3)ln(9/2)

=∫xsex^3xdsecx =(1/4)∫xdsec^4x =(1/4)xsec^4x-(1/4)∫sec^4xdx =(1/4)xsec^4x-(1/4)∫sec^2xdtanx =(1/4)xsec^4x-(1/4)∫(tan^2x+1)dxtanx =(1/4)xsec^4x-(1/12)tan^3x-(1/4)tanx+C

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