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(x^3+1)/(x^2+1)^2的不定积分

原式=(1/4)∫d(x^4)/[1+(x^4)^2]^2, 设u=x^4, 原式=(1/4)∫du/(1+u^2)^2 设u=tant,du =(sect)^2dt, sect=√(1+u^2), cost=1/√(1+u^2), sint=u/√(1+u^2), 原式=(1/4)∫(sect)^2dt/(sect)^4 =(1/4)∫(cost)^2dt =(1/8)(1+cos2t)dt =t/8+(1/16)si...

解析如图

如图所示

令u=1+x^2 则du=2xdx 原式=1/2·∫u^(1/3)·du =1/2·3/4·u^(4/3)+C =3/8·(1+x^2)^(4/3)+C

换元法,令w=1+x^1/6 得到化简后 原式积分=\int 6w-12+6/w dw =3w^2 -12w + 6 log(w) + c 代换回来即得到 积分=x^1/3 - 6x^1/6 + 6log(1+x^1/6) + c

答: f(x)=(x^3+x^2) /(x^2+1) =(x^3) /(x^2+1) +(x^2) /(x^2+1) =g(x)+h(x) 其中g(x)=(x^3)/(x^2+1)是奇函数,在对称区间的积分值为0 所以: 原式定积分=(-2→2)∫ f(x) dx =(-2→2) ∫ h(x) dx =(-2→2) ∫ (x^2) /(x^2+1) dx =(-2→2) ∫ (x^2+1 -1) ...

解:令x^(1/6)=t,则x^(1/3)=t^2,x^(1/2)=t^3,x=t^6,dx=6t^5dt 于是,原式=∫6t^5dt/(t^2+t^3) =6∫t^3dt/(t+1) =6∫[t^2-t+1-1/(t+1)]dt =6(t^3/3-t^2/2+t-ln│t+1│)+C (C是常数) =2t^3-3t^2+6t-6ln│t+1│+C =2x^(1/2)-3x^(1/3)+6x^(1/6)-6ln│x^(...

令x=t^6 则原式=∫6t^5/[t^2(t+1)]dt 把6t^5/[t^2(t+1)]先拆成整式和真分式,再设那个真分式=A/t+B/t^2+C/(t+1),右边通分就得到A、B、C的值,再分别积分。 我就懒得算了……

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