ldcf.net
当前位置:首页 >> 求定积分∫(sinx+Cosx)/(1+x^2) >>

求定积分∫(sinx+Cosx)/(1+x^2)

您好,答案如图所示:

你的错了把,那个最后的有括号,直接就把ln2抵消了,答案直接为π/2

∫ (1+cosx)/(1+sin²x) dx =∫ 1/(1+sin²x) dx + ∫ cosx/(1+sin²x) dx 第一个积分分子分母同除以cos²x =∫ sec²x/(sec²x+tan²x) dx + ∫ 1/(1+sin²x) d(sinx) =∫ 1/(sec²x+tan²x) d(tanx) + arct...

∫[-π/2:π/2][sinx/(1+cosx) +|x|]dx =∫[-π/2:π/2][sinx/(1+cosx)]dx +∫[-π/2:π/2]|x|dx =0+2∫[0:π/2]xdx =x²|[0:π/2] =(π/2)²-0² =π²/4

可以分子分母同除cosx^2,将上方的1/cosx^2收为dtanx,下方为2+tanx^2,剩下的就很简单了。。。

如图

∵d(sin^2(x))=2sinxcosxdx ∴设原式为I,I=∫sinxcosx/(1+sin^2(x))*(dx/(2sinxcosx)) =1/2∫d(sin^2(x))/(1+sin^2(x))=1/2*ln|1+sin^2(x)|+C ∵1+sin^2(x)>0 ∴I=1/2ln(1+sin^2(x))+C 注 sin^2(x)指的是 (sinx)的平方

对定积分求导,先把上限代入被积函数,注意到上限是cosx,所以还应该对cosx求导(复合函数求导法则),再减去下限代入的,数学步骤是原式求导=[1-(cosx)^2]*(cosx)'-[1-(sinx)^2]*(sinx)'=-[(sinx)^3+(cosx)^3] 纯手打往采纳~

本题需先证明一个结论,这个在同济大学高等数学教材里定积的换元法部分有这个例子。里面的第二个结论是我们要用的。 有了这个结论本题就十分简单了,下面是过程。

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by www.ldcf.net
copyright ©right 2010-2021。
内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com