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求微分方程的通解D2y/Dx2+4y=xCosx

特征方程为r^2+4=0 ,r=2i和-2i 设y*=(Ax+B)sinx+(Cx+D)cosx,代入求得:y*=xcosx/3+2sinx/9 通解为y=C1sin2x+C2cos2x+xcosx/3+2sinx/9

齐次通解是y1=e^x(C1 cos x+C2 sin x) 设特解是y2=x e^x(A cos x+B sin x) B=1, A=0 通解是y=e^x(x sin x+C1 cos x+C2 sin x)

因为特征根为±2i,而±i不是特征根,所以对于 二阶微分方程=x (Asinx+Bcos x)形式时 设的就是如你所说的形式

解:∵dy/dx+2y/x=sinx/x ==>xdy+2ydx=sinxdx ==>x^2dy+2xydx=xsinxdx (等式两端同乘x) ==>d(yx^2)=-xd(cosx) ==>∫d(yx^2)=-∫xd(cosx) (积分) ==>yx^2=C-xcosx+sinx (应用分部积分法,C是常数) ==>y=(C-xcosx+sinx)/x^2 ∴此方程的通解是y=(C-xcos...

解:∵dy/dx+y/x=sinx/x ==>xdy+ydx=sinxdx ==>d(xy)=-d(cosx) ==>∫d(xy)=-∫d(cosx) ==>xy=C-cosx (C是常数) ∴原方程的通解是y=(C-cosx)/x ∵当x=π/2时,y=0 ∴代入通解,得C=0 故所求特解是y=-cosx/x。

变常数法。把常数看成x的函数,求导,代入,化简,解新的关于新函数(常数变来)的微分方程。

·

y′cosx-ysinx=cos²x ycosx=∫(cos2x+1)/2dx=sin2x/4+x/2+C y=sinx/2+xsecx/2+Csecx

通解是y(x)=c1e^(-x)+c2e^(2x)-1/2xe^x-1/4e^x-1/10xsinx+11/50sinx-3/10xcosx-1/25cosx

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