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求证tAnx+2Cot2x=Cotx

cot2x=1/tan2x=(1-tan²x)/2tanx 2cot2x=(1-tan²x)/tanx=1/tanx-tanx=cotx-tanx tanx+2cot2x=cotx 证毕

左边=cos^2x/sin^2x -cos^2x =cos^2x/sin^2 (1-sin^2x) =cot^2x cos^2x

诱导公式 tan(π/2-x)=cotx cot2x=1/tan2x=1/[2tanx/(1-tan²x)] =(1-tan²x)/(2tanx) =(1-1/cot²x)/(2/cotx) =[(cot²x-1)/cot²x]/(2/cotx) =(cot²x-1)/(2cotx)

∵1+tanx+cotx=1+tanx+1/tanx=(tanx+tan^2x+1)/tanx ∴(1+tanx+cotx)/(1+tan^2x+tanx)=1/tanx ∵cotx/(1+tan^2x)=cotx/(tanxcotx+tan^2x)=cotx/(tanx(cotx+tanx)) ∴原式=1/tanx-cot/tanx(tanx+cotx)=1/(tanx+cotx)

∫cosx/sinxdx=∫1/sinxdsinx=㏑|sinx|+C

∫(cotx)^6dx =∫(csc^2x-1)cot^4xdx =∫csc^2xcot^4xdx-∫cot^4xdx =-∫cot^4xdcotx-∫(csc^2x-1)cot^2xdx =-cot^5x/5-∫csc^2xcot^2xdx-∫cot^2xdx =-cot^5x/5+cot^3x/3-cotx+x+C

∫ x*csc^2x*cot^2x dx =(1/3)*∫ x*(3*csc^2x*cot^2x) dx =(1/3)*∫ x d(cot^3x) ……凑微分法 =(1/3)*x*cot^3x - (1/3)*∫ cot^3x dx ……分部积分法 =(1/3)*x*cot^3x - (1/3)*∫ cos^3x/sin^3x dx =(1/3)*x*cot^3x - (1/3)*∫ cos^2x/sin^3x d(sinx) ……...

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