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求sinX / 1+X2的不定积分

转换方法:

B(1/2,1/4)=2∫(sinx)^(2*1/4-1)*(conx)^(2*1/2-1); B函数p=1/2,q=1/4. B(1/2,1/4)=P(1/2)*P(1/4)/P(3/4);P,B函数为欧拉函数。 P(1/2)=pi^1/2,关于P(1/4)还有点问题,pi=3.1415926..... 另外P(1/4)*P(3/4)=pi/sin1/4*pi B的积分范围是[0,pi/2]...

let f(x)=x^2sinx/(1+x^2) f(-x) =-f(x) ∫(-π/2->π/2)x^2sinx/(1+x^2) dx =0

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题目疑为 1/(sinx)^2,否则得不到原函数 思路:凑微分 过程:参考下图

你不用试了,这个不定积分没有初等函数的解.一般换元和分部积分做不出来的都没有初等函数的解. 看看题目是要求什么,如果过程中有不定积分,看看是不是有其他方法跳过不定积分. 如果是求定积分,解特殊区间的定积分,比如0到正无穷,那么用积分变换的...

这个积分没有初等原函数,表示为正弦余弦函数组合 -sin(x)/(-1+x)-Si(-1+x)*sin(1)+Ci(-1+x)*cos(1)+C

令t=tan(x/2),则x=2arctant,所以dx=2/(1+t^2)dt 由万能公式:sinx=2tan(x/2)/(1+(tan(x/2))^2)=2t/(1+t^2), 则原式=(1/2)∫d(t+1/2)/[(t+1/2)^2+(根号3/2)^2] =(1/根号3)arctan[2(t+1/2)/根号3]+C =(1/根号3)arctan[2(arctan(x/2)+1/2)/根号3]+C

∵d(sin^2(x))=2sinxcosxdx ∴设原式为I,I=∫sinxcosx/(1+sin^2(x))*(dx/(2sinxcosx)) =1/2∫d(sin^2(x))/(1+sin^2(x))=1/2*ln|1+sin^2(x)|+C ∵1+sin^2(x)>0 ∴I=1/2ln(1+sin^2(x))+C 注 sin^2(x)指的是 (sinx)的平方

令√x=sint 原式=∫t/cost*2sintcostdt=∫2tsintdt=-2∫td(cost)=-2tcost+2∫costdt=-2tcost+2sint+C=-2√(1-x)*arcsin√x+2√x+C

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