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Lim (tAnx%sinx)/X3次方 等于多少呢? x~0

显然 tanx -sinx=tanx*(1-cosx) 在x趋于0的时候, tanx 等价于x,而1-cosx等价于0.5x^2 于是得到 原极限 =lim(x->0) x * 0.5x^2 / x^3 =0.5 故极限值为0.5

解:这里如果只是lim(tanx/x^3)-lim(sinx/x^3)=lim(x/x^3)-lim(x/x^3)=0这个是没有错的,但是你前面还有式子lim(x-0)[(tanx-sinx)/x^3],因为(tanx-sinx)/x^3,当x趋于0是,分子和分母都趋于0,这是一个0/0型的极限,它符合洛必达法则,

令y=(tanx)^sinx lny=sinxlntanx lim(x→0)lny =lim(x→0)sinxlntanx =lim(x→0)lntanx/cscx 这是∞/∞型,可以用洛必达法则 =lim(x→0)(1/tanx*(sec²x)/(-cotx*cscx) =lim(x→0)-sec²x/(tanx*cotx*cscx) =lim(x→0)-(1/cos²x)/(1/sinx) ...

如图,我的手写步骤,希望能帮到你。

上面提供了两种解法。方法1是直接用洛必达法则求解; 方法2是先把tanx和sinx都取泰勒展开式的前两项作等价替换。 【若看不清楚,可点击放大。】

学到的等价无穷小tanx~x,sinx~x,是等价无穷小,但不是相等。 由麦克劳林公式,tanx=x+o1(x³),sinx=x+o2(x³) tanx-sinx=x+o1(x³)-[x+o2(x³)]=o3(x³),是x³的同阶无穷小,而不是0 如果误以为等价无穷小就是相等...

题目估计有问题,arcsin3x应该为(arcsinx)^3 tanx-sinx=x^3/2,(arcsinx)^3=x^3 因此极限为1/2

等价无穷小的替换要在乘积的形式下才能替换

无穷近似值代换,二倍角公式 =lim(1-cosx)/x²limtanx/x =lim2sin²(x/2)/x² =lim2(x/2)²/x² =1/2

x->0 tanx ~ x+(1/3)x^3 sinx ~ x-(1/6)x^3 tanx - sinx ~ (1/2)x^3 / lim(x->0) ( tanx -sinx) /x^3 =lim(x->0) (1/2)x^3 /x^3 =1/2

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