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lim (x^2sin1/X)/sinX,lim趋向于0.求极限

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不能使用洛必达法则

(1)=lim(x^2sin(1/x))/x=limsin(1/x)/(1/x)=0(有穷比无穷) (2)=lim(x+x^2)/x=lim(1+x)=1(x趋于零,x等价于ln(1+x))

J(x) = [(sinx)/x]^(1/x^2) lim(x->0) lnJ(x) = lim(x->0) ln[(sinx)/x] / x^2 = lim(x->0)(xcosx - sinx)/(2x^2sinx) = lim(x->0) (cosx-xsinx-cosx) / 2(2xsinx+x^2cosx) = 0.5 lim(x->0) -sinx / (2sinx+xcosx) = -0.5 lim(x->0) cosx /(2cos...

lim(x->0)(x^2sin(1/x^2)/sinx) =lim(x->0)(x^2sin(1/x^2)/(x) =lim(x->0)xsin(1/x^2) 因为 lim(x->0)x=0,即为无穷小 而|sin(1/x^2)|≤1,即为有界函数 由性质,无穷小和有界函数的乘积为无穷小,所以 原式=0

(1) x趋向于0时,ln(1+x)与x^2都趋于零,根据洛必达法则,对分子分母分别求导 lim (x→0) ln(1+x)/x^2=lim (x→0) 1/2x(x+1)=∞ (2) x趋于0时,极限为0lim (x^2sin1/x) /sinx=lim [(sin1/x)/(1/x)]*x/sinx=lim [(sin1/x)/(1/x)]=0 趋于无穷大...

参考

sinx可以等价 但是sin1/x不行 x趋于0时 1/x不是无穷小

1+cosx显然是趋向2的(不必解释了吧) 所以2×原极限=sinx/ln(1+x)+(x^2sin1/x)/ln(1+x) 而x、sinx和ln(1+x)为等价无穷小量 所以2×原极限=1+xsin1/x x为无穷小量,而sin1/x为有界量(因为正弦值显然在-1到1之间),所以xsin1/x趋向0 则原极限=1/2

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