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lim(X→0)(x%sinx)/(x%tAnx)求极限?

limx→0 (x-sinx)/(x-tanx),(0/0型,洛必塔法则求导) =limx→0 (1-cosx)/(1-sec^2x), =limx→0 2sin^2(x/2)/(-tan^2x),(sinx/2~x/2,tanx~x,替换) =limx→0 2*(x/2)^2/(-x^2), =-1/2。

在x→0的时候, tanx也等价于x 那么分母等价于x^3 原极限 =lim(x→0) (x-sinx) /x^3 分子分母同时求导 =lim(x→0) (1-cosx) / 3x² 而x趋于0时,1-cosx等价于0.5x² 所以得到 原极限=lim(x→0) 0.5x² / 3x² =1/6 故极限值为1/6

上面提供了两种解法。方法1是直接用洛必达法则求解; 方法2是先把tanx和sinx都取泰勒展开式的前两项作等价替换。 【若看不清楚,可点击放大。】

洛必达法则

见图

0/0型,可以用洛比达法则 分子求导=sec²x-1 分母求导=1-cosx 仍是0/0型,继续用洛比达法则 分子求导=2secx*tanxsecx=2sinx/cos³x 分母求导=sinx 所以原式=lim x→0(2sinx/cos³x)/sinx =lim x→0(2/cos³x) =2/1 =2

你说的是从 lim x→0 (2sec²xtanx)/6x得到1/3 *(lim x→0 tanx/x)这一步吗? 因为x→0时,sec²x→1, lim x→0 (2sec²xtanx)/6x = lim x→0 (2*1²*tanx)/6x =1/3 *(lim x→0 tanx/x) =1/3 有问题追问。

用等价无穷小代换 x趋向于0时 x-sin(x)与(1/6)x的立方等价 tan(x)-x与(1/3)x的立方等价 代换,结果为1/2

分母一阶,分子只需要展开到一阶就好了,也就是可以拆开,等价无穷小,=1+1=2

原式=(1-cosx)/(1-(secx)^2) = (1-cosx)/(1-1/(cosx)^2) = (1-cosx)/((cosx-1)(cosx+1)/(cosx)^2) = - (cosx)^2/(cosx+1) = -1/2 (当x→0 时)

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