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lim(X→0)(x%sinx)/(x%tAnx)求极限?

上面提供了两种解法。方法1是直接用洛必达法则求解; 方法2是先把tanx和sinx都取泰勒展开式的前两项作等价替换。 【若看不清楚,可点击放大。】

x->0 tanx~ x +(1/3)x^3 tanx -x ~(1/3)x^3 ------------------ lim(x->0) (tanx-x)/(x^2.sinx) =lim(x->0) (1/3)x^3/x^3 =1/3

在x→0的时候, tanx也等价于x 那么分母等价于x^3 原极限 =lim(x→0) (x-sinx) /x^3 分子分母同时求导 =lim(x→0) (1-cosx) / 3x² 而x趋于0时,1-cosx等价于0.5x² 所以得到 原极限=lim(x→0) 0.5x² / 3x² =1/6 故极限值为1/6

用等价无穷小代换 x趋向于0时 x-sin(x)与(1/6)x的立方等价 tan(x)-x与(1/3)x的立方等价 代换,结果为1/2

洛必达法则

见图

用洛必达法则对分子分母上下求导 原式 =lim(1-secx)/(2xsinx+x^2*cosx) =lim(-2sinx/cos^3x)/(2sinx+2xcosx+2xcosx-x^2sinx) =lim(-2-4sin^2x/cos^4x)/(2cosx+4cosx-4xsinx-2xsinx-x^2cosx) =-1/3 实在无语,相似度有那么高吗,不就是答案一样吗

分母一阶,分子只需要展开到一阶就好了,也就是可以拆开,等价无穷小,=1+1=2

极限是0 怎么求取决于你有什么工具,比如 tanx = sinx / cosx, 如果你知道 sinx 极限是0,cosx极限是1,那你自然就能推出 tanx 极限是0

前两个等式写的不对,因为有限个极限写成线性之和是在每个单项极限都存在才成立,而本题中,每个单项极限都不存在。先消去sinx,再利用洛必达法则,结果为1/2

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