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lim(X→0)(x%sinx)/(x%tAnx)求极限?

上面提供了两种解法。方法1是直接用洛必达法则求解; 方法2是先把tanx和sinx都取泰勒展开式的前两项作等价替换。 【若看不清楚,可点击放大。】

你说的是从 lim x→0 (2sec²xtanx)/6x得到1/3 *(lim x→0 tanx/x)这一步吗? 因为x→0时,sec²x→1, lim x→0 (2sec²xtanx)/6x = lim x→0 (2*1²*tanx)/6x =1/3 *(lim x→0 tanx/x) =1/3 有问题追问。

tanx/x = sinx /(xcosx)=1/ cosx =1

用等价无穷小代换 x趋向于0时 x-sin(x)与(1/6)x的立方等价 tan(x)-x与(1/3)x的立方等价 代换,结果为1/2

x->0 tanx~ x +(1/3)x^3 tanx -x ~(1/3)x^3 ------------------ lim(x->0) (tanx-x)/(x^2.sinx) =lim(x->0) (1/3)x^3/x^3 =1/3

见图

用洛必达法则对分子分母上下求导 原式 =lim(1-secx)/(2xsinx+x^2*cosx) =lim(-2sinx/cos^3x)/(2sinx+2xcosx+2xcosx-x^2sinx) =lim(-2-4sin^2x/cos^4x)/(2cosx+4cosx-4xsinx-2xsinx-x^2cosx) =-1/3 实在无语,相似度有那么高吗,不就是答案一样吗

前两个等式写的不对,因为有限个极限写成线性之和是在每个单项极限都存在才成立,而本题中,每个单项极限都不存在。先消去sinx,再利用洛必达法则,结果为1/2

把整个式子放到e的指数上,即原式=lim(x-0+) e^(tanx*ln1/sinx),然后把tanx看成除以cotx,所以变成∞/∞型,利用L'Hospital可得原式=e^0=1

lim(tanx-sinx)/sin³x =lim(sinx/cosx -sinx)/sin³x =lim(1/cosx -1)/sin²x =lim(1-cosx)/[cosx·(1-cos²x)] =lim(1-cosx)/[cosx·(1+cosx)(1-cosx)] =lim1/[cosx(1+cosx)] =1/[1×(1+1)] =1/2 本题非常简单,连等价无穷小都没...

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