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limx趋向于0,(1/sinx%1/x)=?

=lim(x-sinx)/xsinx =lim(x-sinx)/x² =lim(1-cosx)/2x =limsinx/2 =0

如图

供参考。

lim(x→0) (1/x- 1/sinx) =lim(x→0) (sinx-x)/(xsinx) =lim(x→0) (sinx-x)/x^2 =lim(x→0) (cosx-1)/(2x) =lim(x→0) -x^2/(4x) =lim(x→0) -x/4 =0

可以使用泰勒展开得到 sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-... 那么sinx/x=1-x^2/3!+x^4/5!-... 代入x趋于0,显然后面的项都等于0 于是极限值=1

在单位圆内,可以证明: 当x无限趋近于0时 绿色线条长度(sinx)无限趋近于弧AB

供参考。

lim(x→0)x·sin(1/x)=0 【x是无穷小, sin(1/x)是有界函数, 然后,有界函数×无穷小=无穷锌 lim(x→0)1/x·sinx=1 【重要极限】 ∴lim(x→0)[x·sin(1/x)+1/x·sinx]=1

如图

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