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x趋近于0,求(tAnx+sinx)/x的极限

分母一阶,分子只需要展开到一阶就好了,也就是可以拆开,等价无穷小,=1+1=2

lim(x趋向于0+)x^tanx =e^lim(x趋向于0+)lnx^tanx =e^lim(x趋向于0+)lnx*tanx =e^lim(x趋向于0+)lnx/cotx (∞/∞) =e^lim(x趋向于0+)(1/x)/(-csc^2x) =e^lim(x趋向于0+)-sinx =e^0 =1

答案为1/2,如图所示

分子泰勒展开一步就出来了为啥要用重要极限?

提出tan,然后变成tanx(1-cosx),x趋于0,tan=0,1-cos x~x^2/2=0

原式=limx→0 [tanx-tan(sinx)]/x^3*limx→0 sinx/x*limx→0 x/arctanx =limx→0 [1/cos^2x-cosx/cos^2(sinx)]/3x^2*1*1 =limx→0 [cos^2(sinx)-cos^3x]/3x^2*limx→0 1/[cos^2x*cos^2(sinx)] =limx→0 [-2cos(sinx)sin(sinx)cosx+3cos^2xsinx]/6x*1 =l...

上面提供了两种解法。方法1是直接用洛必达法则求解; 方法2是先把tanx和sinx都取泰勒展开式的前两项作等价替换。 【若看不清楚,可点击放大。】

洛必达法则

前两个等式写的不对,因为有限个极限写成线性之和是在每个单项极限都存在才成立,而本题中,每个单项极限都不存在。先消去sinx,再利用洛必达法则,结果为1/2

运用泰勒公式,易知 二分之一 (把常用的泰勒公式背下来口算这类题目)

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